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TRIGONOMETRY

三角函数与单位圆

三角函数不只属于三角形。它们描述圆周运动、波动和一切周期现象。

6.1 弧度是微积分的自然角度

弧度用“弧长 ÷ 半径”定义角度。一整圈弧长是 2πr2\pi r，除以半径得到 2π2\pi 弧度，因此：

180∘=π rad,1∘=π180 rad180^\circ=\pi\text{ rad},\qquad 1^\circ=\frac{\pi}{180}\text{ rad}

微积分公式默认使用弧度。若使用角度制，许多漂亮的导数公式会多出转换系数。

6.2 单位圆统一了 sin 与 cos

从正 xx 轴出发转过角 θ\theta，单位圆上的终点坐标定义为 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta)。横坐标是余弦，纵坐标是正弦；tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}。

图解单位圆上的坐标就是 (cos θ, sin θ)
θ(cos θ, sin θ)1
半径恒为 1。由勾股定理立刻得到最重要的恒等式 cos²θ + sin²θ = 1。
常用角sin⁡0=0\sin0=0，sin⁡π6=12\sin\frac\pi6=\frac12，sin⁡π4=22\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}，sin⁡π3=32\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}{2}，sin⁡π2=1\sin\frac\pi2=1。余弦按相反顺序排列。

6.3 从圆周运动到波形

当点沿单位圆匀速转动，它的纵坐标画出正弦波，横坐标画出余弦波。两者周期都是 2π2\pi，且余弦比正弦提前四分之一周期：

cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x=\sin\left(x+\frac\pi2\right)
图解正弦与余弦：同一条波错开 π/2
-6-5-4-3-2-1123456-4-3-2-11234xysin xcos x一个周期 2π
波形的高度在 −1 与 1 之间重复。振幅、周期和相位将成为分析周期函数的三个关键参数。

章末练习

  1. 把 150∘150^\circ 换成弧度。
  2. 求 cos⁡π\cos\pi 和 sin⁡3π2\sin\frac{3\pi}{2}。
  3. 若 cos⁡θ=−12\cos\theta=-\frac12，θ\theta 在第二象限，求 sin⁡θ\sin\theta。
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  1. 5π6\frac{5\pi}{6}。
  2. −1-1 和 −1-1。
  3. 32\frac{\sqrt3}{2}。