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FUNCTIONS

函数：数学里的机器

函数不是一串神秘符号，而是一条明确的规则：给它允许的输入，它就产生唯一的输出。

1.1 从“机器”开始

想象一台机器：投入数字 xx，机器按某条规则加工，吐出数字 f(x)f(x)。若规则是“先平方，再除以 2”，便写成：

f(x)=x22f(x)=\frac{x^2}{2}

当 x=2x=2 时，输出是 f(2)=2f(2)=2；当 x=−3x=-3 时，输出是 f(−3)=92f(-3)=\frac92。括号里的内容是输入，不是乘法。

定义函数是把定义域中的每个输入，恰好对应到一个输出的规则。一个输入不能同时产生两个不同输出，但不同输入可以得到同一个输出。
图解函数把输入映射到图像上的点
-6-5-4-3-2-1123456-4-3-2-11234xy输入 2 → 输出 2
图像上的每个点 (x, y) 都在说同一件事：y = f(x)。竖直虚线展示输入 x = 2 如何找到输出。

1.2 定义域：哪些输入被允许？

定义域不是装饰。它告诉我们机器能接受什么。实数范围内，最常见的限制来自两件事：

  • 分母不能为零：f(x)=1x−2f(x)=\frac1{x-2} 要求 x≠2x\ne2。
  • 偶次根号内部不能为负：g(x)=x+3g(x)=\sqrt{x+3} 要求 x≥−3x\ge-3。

1.3 图像是在讲故事

函数图像是所有点 (x,f(x))(x,f(x)) 的集合。读图时先问：在哪里与坐标轴相交？在哪里上升或下降？有没有断裂？一条竖线若与图像相交超过一次，它就不是 yy 关于 xx 的函数。

章末练习

  1. 若 f(x)=3x2−1f(x)=3x^2-1，求 f(−2)f(-2)。
  2. 求 5−x\sqrt{5-x} 的定义域。
  3. 圆 x2+y2=1x^2+y^2=1 是否定义了 yy 关于 xx 的函数？
查看答案
  1. 1111。
  2. x≤5x\le5。
  3. 不是；例如 x=0x=0 对应 y=1y=1 和 y=−1y=-1。