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ALGEBRA TOOLBOX

直线与代数工具箱

微积分的思想可能很新，但计算常常卡在旧的代数上。把最常用的工具磨利就够了。

4.1 斜率是平均变化率

经过两点 (x1,y1)(x_1,y_1)、(x2,y2)(x_2,y_2) 的直线，斜率为：

m=y2−y1x2−x1=纵向变化横向变化m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{\text{纵向变化}}{\text{横向变化}}
图解斜率 = 上升量 ÷ 水平移动量
-6-5-4-3-2-1123456-4-3-2-11234xy向右 4向上 3
图中向右 4、向上 3，所以斜率为 3/4。斜率越大，直线越陡。

知道斜率和一点，可用点斜式 y−y1=m(x−x1)y-y_1=m(x-x_1)；整理后常得到斜截式 y=mx+by=mx+b，其中 bb 是与 yy 轴的交点。

4.2 三种高频代数动作

因式分解

x2−9=(x−3)(x+3)x^2-9=(x-3)(x+3)。平方差 a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b) 在求极限时尤其常见。

通分

1x−1a=a−xax\frac1x-\frac1a=\frac{a-x}{ax}。不要分别处理两个分式；先写成共同分母。

有理化

遇到根式差，乘以共轭式：(x−2)(x+2)=x−4(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4。它能把难处理的根式差变成多项式。

章末练习

  1. 求经过 (1,2)(1,2) 和 (5,10)(5,10) 的直线。
  2. 因式分解 x2+5x+6x^2+5x+6。
  3. 有理化 x−3x−9\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}。
查看答案
  1. 斜率 2，直线 y=2xy=2x。
  2. (x+2)(x+3)(x+2)(x+3)。
  3. 当 x≠9x\ne9 时等于 1x+3\frac1{\sqrt{x}+3}。