指数与对数｜微积分前夜

EXPONENTIALS & LOGS

指数与对数

指数描述“按比例增长”，对数回答“需要增长多少次”。它们是一对互相撤销的函数。

$y=a^x$ 中，变量出现在指数位置。若 $a>1$ ，每当 $x$ 增加 1，输出都乘以同一个倍数 $a$ 。这就是复利、人口增长和放射性变化的共同结构。

指数法则

a^m a^n=a^{m+n}

；

\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

；

(a^m)^n=a^{mn}

；

a^{-n}=\frac1{a^n}

。

\log_a b=c\quad\Longleftrightarrow\quad a^c=b

所以 $\log_2 8=3$ ，因为 $2^3=8$ 。自然对数 $\ln x$ 是以 $e\approx2.71828$ 为底的对数。微积分偏爱 $e$ ，因为 $e^x$ 的瞬时增长率恰好等于它自己。

图解eˣ 与 ln x 互为反函数

两条曲线沿 y = x 对称。eˣ 的值永远为正，因此 ln x 只接受正数输入。

\ln(ab)=\ln a+\ln b,\quad \ln\frac ab=\ln a-\ln b,\quad \ln(a^r)=r\ln a

注意： $\ln(a+b)$ 不能拆开。对数把乘法变成加法、幂变成乘法，但没有把加法变简单的规则。

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